ELIPSE

Elipse

Elipse é a curva plana tal que a soma das distâncias de qualquer dos seus pontos a dois pontos fixos do plano é constante.

O ponto M pertencente à curva e os pontos fixos F e G, denominados focos, podem ser vistos na figura abaixo à esquerda.

Desse modo, pela definição, sendo a uma constante, pode-se escrever que

MF+MG=2a

Os segmentos MF e MG são denominados raios vetores, FG é o segmento focal e sua reta suporte é a reta focal.

A distância entre os focos (ou seja, o comprimento de FG) é denominada distância focal e é representada por 2c. Se O é o ponto médio do segmento FG (denominado centro da elipse) então

FG=2c  e  OF=OG=c

Se O é também o ponto médio de AB então

OA=OB=a

AF=OA-OF=a-c

e

AG=OG+OF=a+c

de onde se obtém que

AF+AG=2a

e o ponto A pertence à elipse. Raciocínio análogo mostra que B também pertence.

Tomando um ponto X qualquer no segmento AB tem-se que

AX+BX=AB=2a

Traçando-se duas circunferências, uma com centro em F e raio AX e outra com centro em G e raio BX, os pontos de interseção dessas duas circunferências pertencem à elipse, como mostram os pontos P eQ na figura acima à direita. Permutando os centros, são encontrados mais dois pontos da curva. Variando X para todas as posições, obtém-se pontos da elipse.

Do exposto, a elipse pode ser definida de modo alternativo como:

Elipse é o lugar geométrico do pontos M tais que MF+MG=2a, sendo F e G os focos, FG o segmento focal e 2c o seu comprimento.

Assim, para uma elipse:

• Nenhum ponto do segmento focal pertence à elipse
• Existem precisamente dois pontos da reta focal que pertencem à elipse
• Se P e Q são pontos da elipse então PQ é uma corda e seu comprimento é, no máximo, 2a; a única corda com comprimento 2a é AB

A figura abaixo à esquerda mostra uma coleção de pontos da elipse suficientes para sua visualização.

Se P é um ponto da elipse então PF+PG=2a. Se Q é o simétrico de P então AB é a mediatriz da corda PQ, de modo que

PF=QF  e  PG=QG ⇒ QF+QG=2a

e Q também está na elipse. O mesmo se conclui sobre os pontos R e S.

É fácil observar na figura acima que uma reta perpendicular que passa pelo centro O é a mediatriz das cordas PR e QS. Então, em relação a essa reta, P é simétrico a R e Q a S.

Assim, pode-se concluir que:

• A reta que contém AB é um eixo de simetria da elipse, denominado eixo focal por conter os focos.
• A reta que passa por O e é perpendicular a FG é (outro) eixo de simetria, denominado eixo não focal.
• O ponto O é o ponto médio das cordas PS e QR, de modo que o centro O é o ponto de simetria da elipse.
• Os pontos onde os eixos intersecionam a curva (A, B, J e H) são denominados vértices da elipse.

Como HO<HF segue-se que b<a e o segmento não focal é menor que segmento focal. Por esse motivo, o eixo focal é denominado eixo maior e o não focal eixo menor.

Como os pontos focais não pertencem à elipse segue-se que

2c<2a ⇔ c<a

No triângulo retângulo HOF tem-se, pelo teorema de Pitágoras, que

(OF)2+(OH)2=(HF)2 ⇔ a2=b2+c2 ⇒ b=a2-c2

A razão entre a distância focal e o eixo maior é denominada excentricidade da elipse, de modo que:

e=ca  e  e=a2-b2a

A excentricidade, portanto, é tal que 0<e<1. O valor 0 é denominado cota inferior e, nesse caso, AB=O e a curva é uma circunferência. O valor 1 é cota superior e a curva se reduz a uma reta.

Uma elipse divide o plano em duas regiões: a região interior e a exterior da elipse. Assim, um ponto qualquer M do plano pode ser:

• ponto interior: quando está na região interior da elipse e, portanto, MF+MG<2a
• ponto aferente: quando está sobre a curva e, portanto, MF+MG=2a
• ponto exterior: quando está na região exterior da elipse e, portanto, MF+MG>2a

Essas são condições necessárias e suficientes (por exemplo, um ponto está sobre a elipse se, e somente se, MF+MG=2a) para que um ponto esteja localizado no exterior, interior ou sobre a elipse.

Alguns círculos estão relacionados com a elipse. Os círculos com centros nos focos e raio 2a são denominados círculos diretores (figura abaixo à esquerda), o círculo com raio a e centro em O é denominado círculo principal e o círculo com o mesmo centro e raio b é o círculo auxiliar (figura abaixo à direita).

            Esses círculos permitem enunciar a propriedade fundamental da elipse.

Qualquer ponto da elipse é equidistante de um dos focos e da circunferência do círculo diretor do outro foco. Reciprocamente, todo ponto equidistante de um foco e da circunferência do outro foco é um ponto da elipse.

A figura abaixo à esquerda ilustra a propriedade. Note que MG=MP e P está sobre o círculo diretor com centro em F.

Como em outras curvas, uma reta no plano que possua pontos em comum com a elipse pode ser uma reta secante ou uma reta tangente. Em relação à tangente, pode-se dizer que:

Em todo ponto de uma elipse existe uma reta tangente que é a bissetriz externa do ângulo dos raios vetores desse ponto.

E essa propriedade traz como consequências:

1. A reta tangente em um ponto de contato forma ângulos iguais com os raio vetores nesse ponto.
2. A reta normal à elipse é bissetriz interna do ângulo dos raios vetores do ponto de contato.
3. O simétrico de um foco em relação a uma tangente a elipse fica situado na circunferência do círculo diretor do outro foco.
4. As tangentes nos vértices são perpendiculares aos eixos.

Na figura acima ilustra, a reta MR ilustra uma reta tangente, sendo M o ponto de contato. Observe que os ângulos 1, 2 e 3 são iguais.

Referências: [MathAbundance/2012]   [MathOpen/2012]   [Camargo/2005]   [Quintella c1/1960]