MÉTODO CHINÊS DE MULTIPLICAÇÃO - RESOLVE ATÉ EQUAÇÃO

MÉTODO CHINÊS PARA MULTIPLICAR

MULTIPLICAÇÃO CHINESA

Os chineses usavam um método muito prático utilizando varetas de bambu. As varetas ficavam dispostas na horizontal e na vertical, representando o multiplicador e o multiplicando. Os pontos de interseção das varetas são contados na diagonal, começando pela direita. Se o resultado da soma for maior que nove, some o valor da dezena na próxima diagonal.

Vamos ver um exemplo???

Multiplicar 342 por 25

Logo, 342 x 25 = 8550

Texto extraído e adaptado do livro “A Magia da Matemática”, da Editora Ciência Moderna.

VAMOS PENSAR UM POUCO?

Na pilha ao lado, foram colocadas 20 latas de ervilha na base e uma a menos em cada fileira. Quantas latas foram empilhadas?

ESPIRAL NO CADERNO? NEM PENSAR.

Na matemática, espiral é uma curva plana que gira em torno de um ponto central (chamado polo), dele se afastando ou se aproximando segundo uma determinada lei . Quando se volta para a direita é chamada de dextrogira e para a esquerda de sinistrogira ou levogira.

Uma espiral bidimensional pode ser descrita usando coordenadas polares dizendo que o raio r é uma função contínua emonotônica do ângulo. O círculo seria considerado como um caso degenerativo (a função não é estritamente monotônica, mas sim constante).

Algumas das espirais bidimensionais mais importantes são:

• A espiral arquimediana: r = a + bθ
• A espiral de Cornu ou clotoide
• A espiral de Fermat: r = θ^1/2
• A espiral hiperbólica: r = a/θ
• A espiral de lítuo: r = 1/θ^1/2
• A espiral logarítmica: r = ab^θ; aproximações dessa são encontradas na natureza
• A espiral de Fibonacci ou espiral de ouro: espiral logarítmica que segue a Série Fibonacci em sua formação.

                                                          Espiral de Arquimedes 

Espiral Logarítmica 

Espiral de Fibonacci

Espiral de Hiperbólica 

HELICOIDAL 

adjetivo de dois gêneros

1. 1.

   m.q. HELICOIDE ('semelhante à hélice', 'disposição').
2. 2.

   diz-de do movimento de um sólido que gira em torno de um eixo e se desloca ao longo deste eixo.

Na verdade o que nós chamamos de ESPIRAL no caderno é um HELICOIDAL. 

Veja a imagem abaixo:

Helicoidal é o que tem a forma de hélice ou é semelhante a uma hélice.

Se você enrolar um barbante em torno de um pedaço de cabo de vassoura, a linha - formada pelo barbante, enrolado em torno do cilindro, formado pelo cabo de vassoura - tem uma forma helicoidal.

/Essa linha helicoidal tem elementos importantes para o nosso cálculo. Eles são: o ângulo de inclinação da hélice () e o passo da hélice (Ph), mostrados no desenho a seguir.

Nessa figura você também vê a indicação do diâmetro do cilindro imaginário, em torno do qual a linha helicoidal está desenhada. Essa medida também é importante para o nosso cálculo.

Wikipédia, a enciclopédia livre

EBAH- http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA-qYAI/15-ct-151-160-realizando-calculos-aparelho-divisor-iii

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REFÉNS DA TECNOLOGIA

É inegável a importância da tecnologia ao longo dos anos, todo esse avanço tecnológico tem causado até espanto aos olhos da humanidade, presenciar robôs agindo como seres humanos são sem duvidas algo grandioso. E o que falar dos computadores que desde 1944 vem revolucionando o mundo, passando por varias adaptações tornando-se uma febre mundial.  Não poderíamos esquecer os benefícios ofertados, como por exemplo; juntar os que longe estão. Atravessar continentes sem sair de casa, viajar quilômetros sem sair do lugar, ver o rosto daqueles que até então só era possível através de fotografias, agora basta apertar o botão, (se é que ainda existe botão) para ver e conversar em tempo real.  De contra partida, essa engenhosidade tem causado rupturas no convívio social, nas famílias, no relacionamento, afastando quem está perto.  Como corrobora Zygmunt Bauman:

“O advento da internet permitiu esquecer ou encobrir o vazio, e, portanto, reduzir seu efeito deletério; pelo menos a dor podia ser aliviada. Contudo, a companhia que tantas vezes faltava e cuja ausência era cada vez mais sentida parecia retornar nas telas eletrônicas, substituindo as portas de madeira, numa reencarnação analógica ou digital, embora sempre virtual: pessoas que tentavam escapar dos tormentos da solidão descobriram nessa nova forma um importante avanço com referência à versão cara a cara, face a face, que deixara de existir.” (44 Cartas do Mundo Líquido Moderno -Pag.13).

A comunicação está ficando extinta, Uma ruptura sem concerto vem se formando na sociedade, tornando-a “MARIONETE MIDIÁTICA” provocando falta de socialização, distanciamento do relacionamento pessoal, individualismo etc. Assim, o discernimento do que de fato é considerado relevante foi engavetado, questionar é coisa do passado, tudo que predomina na sociedade é a emoção, enquanto acontece o sepultamento da razão. Uma geração que ama a exposição, fotos sensuais, poses inspiradas em personagens hollywoodianos, fazem biquinho, registram fotos na frente do espelho, a solidão é gritante, o medo de não ter seguidores é vertiginoso. Enquanto isso nos bastidores a VIDA REAL sofre constantes bombardeios. 

Autor: Ailton Gomes

KKKK SE ESSA MODA PEGA.

PROBLEMINHA PROPOSTO PELO ENEM 2010

ENEM

Um gostinho do impossível

Ao explorar uma questão do Enem, o estudante chega a um dos grandes problemas atuais: o de minimizar o somatório dos pesos de um grafo

Diante de um grafo (vértices interligados por arestas), o estudante pode fazer uma pergunta inicial importante: “Todos os pontos estão interconectados a todos os outros? De que modo?” Basta inspecionar o grafo para ver que nenhum ponto está conectado a nenhum outro por mais de uma aresta. Em outras palavras, há apenas uma rota entre duas cidades; trata-se de um grafo simples. Para dar resposta à pergunta, portanto, basta contar o número de arestas que chegam (saem) a cada vértice: quatro. Isso significa que cada vértice está interligado a todos os outros; trata-se de um grafo completo.

Bem, de quantos modos alguém pode organizar uma sequência de sete letras, sabendo que a primeira e a última são sempre iguais a A e que não deve repetir as letras do meio? Para pensar melhor sobre esse assunto, basta um desenho:

A.___.___.___.___.___.A

Na segunda casa, o estudante pode escolher uma entre cinco letras; na terceira, uma entre quatro letras; na quarta, uma entre três letras; etc. É um problema de contagem: “Quantas permutações posso montar com as letras BCDEF?”

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120

Se nem todos os pontos estivessem ligados a todos os outros, o problema ficaria mais complicado. Por exemplo, se não houvesse uma aresta entre os vértices B e F, o estudante teria de tirar todas as permutações nas quais aparecem BF ou FB em qualquer posição válida. Ao redigir essa questão 173, o povo do Enem facilitou as coisas deixando todos os vértices interligados a todos os outros.

Esse é um grafo valorado, no qual ou os vértices, ou as arestas, ou ambos estão associados a números, oupesos, que podem significar custo, tempo, taxa de congestionamento, etc. Num grafo como o da questão 173, a permutação ABCDEFA vale tanto quanto a permutação AFEDCBA (que é ABCDEFA de trás para frente). Então, o personagem João não tem de calcular o custo de todas as 120 permutações, mas de metade delas. Como precisa de um minuto e meio para executar a adição e riscar a permutação simétrica, levará quanto tempo para correlacionar cada permutação a uma soma?

60 · 1,5 = 90

A resposta certa é, portanto, a (b): 90 minutos.

Na matemática, problemas como esse são conhecidos pela sigla TSP, que vem da locução inglesa traveling-salesman problem, isto é, problema do vendedor ambulante ou problema do caixeiro-viajante. Ainda não existe fórmula com a qual o estudante possa, de um jeito simples, calcular a rota de menor custo. (Ou, em termos mais técnicos, minimizar a soma dos pesos.) Ele pode delegar a tarefa a um computador bem programado, mas, conforme o número de vértices aumenta, até computadores rápidos precisam de muito tempo para achar a solução de menor custo. Em alguns casos, várias vezes a idade do universo…

O estudante pode imaginar, por exemplo, o caso do engenheiro que precisa programar um braço robótico para soldar componentes numa placa de circuito impresso. Pode imaginar o local de cada componente como um vértice. E pode ver que a ordem de soldagem altera o custo da operação: soldar o componente A e depois o B não custa a mesma coisa que soldar o A e depois o C. Para fabricar placas com 120 componentes, o engenheiro teria de achar a permutação de menor custo entre ≈6,7 · 10(elevado a)198 permutações, o que é um inteiro positivo com 199 algarismos. Um computador de mesa moderno levaria vários trilhões de anos para completar os cálculos. É por isso que tantos matemáticos se especializam em otimização combinatória: eles vivem de imaginar métodos pelos quais calcular não a rota de menor custo (o que com frequência é impossível), mas uma rota de custo relativamente baixo, dentro de determinada margem de erro, e num tempo razoável.

REVISTA CÁLCULOS - matemática para tdos

DECORAR FORMULAS RESOLVE?

Quem decora, sai da escola, mas e daí?

Os que veem a matemática como um conjunto de grandes ideias conectadas têm melhor desempenho no Pisa

Jo Boaler, especialista em didática da matemática, professora na Universidade de Stanford, publicou em maio uma análise do desempenho dos Estados Unidos nos testes do Pisa. (O Pisa é um teste que uma organização internacional aplica a jovens de 15 anos em 64 países.) A última edição ocorreu em 2012, e os americanos estão preocupados com as notas de seus jovens: os EUA ficaram em 31º lugar em matemática, atrás de seus principais competidores. (O Brasil ficou em 57º.)

“Os estudantes de melhor desempenho”, diz Jo a respeito do que revelam os dados de 13 milhões de estudantes do mundo todo, “veem a matemática como um conjunto de grandes ideias, todas com muitas conexões entre si. Os de pior desempenho, ao contrário, são aqueles que recorrem a táticas da memorização.”

Jo faz parte de um grupo de especialistas famosos que tem trabalhado com o governo americano e feito campanha para mudar o modo como os EUA ensinam matemática a seus jovens. Entre eles, estão Keith Devlin, Phil Daro, Bill Jacob, Conrad Wolfram. Mas, por razões históricas, muitos professores americanos incentivam bastante um tipo específico de estudante: o que facilmente memoriza métodos e procedimentos, e que realiza cálculos aritméticos rapidamente.

Cientistas já sabem que a maioria das pessoas não é assim. Laurent Schwartz, o matemático francês que ganhou a medalha Fields em 1950, contava como se sentia estúpido durante as aulas de matemática na escola básica, pois era talvez o aluno mais lento da classe. Se o professor ensina matemática no estilo “vamos achar bem depressa a resposta certa deste enunciado de uma questão do vestibular”, gente como Laurent acaba acreditando que não tem cabeça para a matemática. “Mais tarde”, disse Laurent uma vez, “fui entender que a coisa mais importante na matemática é compreender profundamente uma ideia e sua relação com outras ideias.

O fato de ser rápido ou lento não tem relevância nenhuma.”

Mas, nos EUA, os pais têm pressa; querem que seus filhos montem, antes dos 18 anos, um currículo cheio de cursos avançados de matemática, pois desejam que tenham a chance de entrar numa ótima universidade, e com bolsa de estudos. “Não há nenhum problema em permitir que um jovem estude cedo algum assunto da matemática universitária”, diz Jo a certa altura da análise. “Mas é importante que ele o explore devagar, profundamente.

Não precisamos de alunos capazes de fazer contas rapidamente, mas capazes de investigar, elaborar perguntas, comunicar seus resultados de várias maneiras, interligar ideias aparentemente desconexas, produzir gráficos e infográficos, trabalhar em equipe.”

REVISTA CÁLCULOS - matemática para todos

ELIPSE

Elipse

Elipse é a curva plana tal que a soma das distâncias de qualquer dos seus pontos a dois pontos fixos do plano é constante.

O ponto M pertencente à curva e os pontos fixos F e G, denominados focos, podem ser vistos na figura abaixo à esquerda.

Desse modo, pela definição, sendo a uma constante, pode-se escrever que

MF+MG=2a

Os segmentos MF e MG são denominados raios vetores, FG é o segmento focal e sua reta suporte é a reta focal.

A distância entre os focos (ou seja, o comprimento de FG) é denominada distância focal e é representada por 2c. Se O é o ponto médio do segmento FG (denominado centro da elipse) então

FG=2c  e  OF=OG=c

Se O é também o ponto médio de AB então

OA=OB=a

AF=OA-OF=a-c

e

AG=OG+OF=a+c

de onde se obtém que

AF+AG=2a

e o ponto A pertence à elipse. Raciocínio análogo mostra que B também pertence.

Tomando um ponto X qualquer no segmento AB tem-se que

AX+BX=AB=2a

Traçando-se duas circunferências, uma com centro em F e raio AX e outra com centro em G e raio BX, os pontos de interseção dessas duas circunferências pertencem à elipse, como mostram os pontos P eQ na figura acima à direita. Permutando os centros, são encontrados mais dois pontos da curva. Variando X para todas as posições, obtém-se pontos da elipse.

Do exposto, a elipse pode ser definida de modo alternativo como:

Elipse é o lugar geométrico do pontos M tais que MF+MG=2a, sendo F e G os focos, FG o segmento focal e 2c o seu comprimento.

Assim, para uma elipse:

• Nenhum ponto do segmento focal pertence à elipse
• Existem precisamente dois pontos da reta focal que pertencem à elipse
• Se P e Q são pontos da elipse então PQ é uma corda e seu comprimento é, no máximo, 2a; a única corda com comprimento 2a é AB

A figura abaixo à esquerda mostra uma coleção de pontos da elipse suficientes para sua visualização.

Se P é um ponto da elipse então PF+PG=2a. Se Q é o simétrico de P então AB é a mediatriz da corda PQ, de modo que

PF=QF  e  PG=QG ⇒ QF+QG=2a

e Q também está na elipse. O mesmo se conclui sobre os pontos R e S.

É fácil observar na figura acima que uma reta perpendicular que passa pelo centro O é a mediatriz das cordas PR e QS. Então, em relação a essa reta, P é simétrico a R e Q a S.

Assim, pode-se concluir que:

• A reta que contém AB é um eixo de simetria da elipse, denominado eixo focal por conter os focos.
• A reta que passa por O e é perpendicular a FG é (outro) eixo de simetria, denominado eixo não focal.
• O ponto O é o ponto médio das cordas PS e QR, de modo que o centro O é o ponto de simetria da elipse.
• Os pontos onde os eixos intersecionam a curva (A, B, J e H) são denominados vértices da elipse.

Como HO<HF segue-se que b<a e o segmento não focal é menor que segmento focal. Por esse motivo, o eixo focal é denominado eixo maior e o não focal eixo menor.

Como os pontos focais não pertencem à elipse segue-se que

2c<2a ⇔ c<a

No triângulo retângulo HOF tem-se, pelo teorema de Pitágoras, que

(OF)2+(OH)2=(HF)2 ⇔ a2=b2+c2 ⇒ b=a2-c2

A razão entre a distância focal e o eixo maior é denominada excentricidade da elipse, de modo que:

e=ca  e  e=a2-b2a

A excentricidade, portanto, é tal que 0<e<1. O valor 0 é denominado cota inferior e, nesse caso, AB=O e a curva é uma circunferência. O valor 1 é cota superior e a curva se reduz a uma reta.

Uma elipse divide o plano em duas regiões: a região interior e a exterior da elipse. Assim, um ponto qualquer M do plano pode ser:

• ponto interior: quando está na região interior da elipse e, portanto, MF+MG<2a
• ponto aferente: quando está sobre a curva e, portanto, MF+MG=2a
• ponto exterior: quando está na região exterior da elipse e, portanto, MF+MG>2a

Essas são condições necessárias e suficientes (por exemplo, um ponto está sobre a elipse se, e somente se, MF+MG=2a) para que um ponto esteja localizado no exterior, interior ou sobre a elipse.

Alguns círculos estão relacionados com a elipse. Os círculos com centros nos focos e raio 2a são denominados círculos diretores (figura abaixo à esquerda), o círculo com raio a e centro em O é denominado círculo principal e o círculo com o mesmo centro e raio b é o círculo auxiliar (figura abaixo à direita).

            Esses círculos permitem enunciar a propriedade fundamental da elipse.

Qualquer ponto da elipse é equidistante de um dos focos e da circunferência do círculo diretor do outro foco. Reciprocamente, todo ponto equidistante de um foco e da circunferência do outro foco é um ponto da elipse.

A figura abaixo à esquerda ilustra a propriedade. Note que MG=MP e P está sobre o círculo diretor com centro em F.

Como em outras curvas, uma reta no plano que possua pontos em comum com a elipse pode ser uma reta secante ou uma reta tangente. Em relação à tangente, pode-se dizer que:

Em todo ponto de uma elipse existe uma reta tangente que é a bissetriz externa do ângulo dos raios vetores desse ponto.

E essa propriedade traz como consequências:

1. A reta tangente em um ponto de contato forma ângulos iguais com os raio vetores nesse ponto.
2. A reta normal à elipse é bissetriz interna do ângulo dos raios vetores do ponto de contato.
3. O simétrico de um foco em relação a uma tangente a elipse fica situado na circunferência do círculo diretor do outro foco.
4. As tangentes nos vértices são perpendiculares aos eixos.

Na figura acima ilustra, a reta MR ilustra uma reta tangente, sendo M o ponto de contato. Observe que os ângulos 1, 2 e 3 são iguais.

Referências: [MathAbundance/2012]   [MathOpen/2012]   [Camargo/2005]   [Quintella c1/1960]  

UM BOM TEXTO SOBRE DIMENSÕES

Estudo do Movimento segundo a
Metodologia Net-In
Alberto Mesquita FilhoCapítulo 3 - Página 1

3.1 Dimensões e realidade

O mundo em que vivemos é, sob o ponto de vista espacial, tridimensional. Qualquer tentativa em caracterizar mundos com uma ou duas dimensões espaciais tem muito de ilusória. O plano, por exemplo, presta-se a dividir um espaço tridimensional em outros dois espaços tridimensionais, mas o plano em si não ocupa lugar em nenhum desses três espaços considerados. Se bem que semelhantes, não se deve confundir um plano geométrico com a parede de uma casa. A parede é tridimensional, enquanto que o plano é adimensional. O mesmo se diga com relação a uma linha reta (adimensional) e uma corda esticada (tridimensional). Em suma: não existem objetos unidimensionais nem bidimensionais. E "objetos" adimensionais existem apenas em nossa imaginação.

Uma folha de papel tem uma espessura finita e não nula. A tela do computador tem uma estrutura um pouco mais complexa, mas também forma imagens graças a determinados artefatos coerentes com uma espessura finita, pois do contrário a tela seria totalmente invisível. As sombras, assim como as projeções cinematográficas, são, pelo menos em teoria, adimensionais. Na prática, não obstante, conseguimos observar essas imagens graças às irregularidades dos objetos e que permitem a sua expressão sob formas visíveis. Uma tela de cinema, sob o ponto de vista físico, pertence muito mais à categoria das paredes do que à categoria dos planos geométricos.

Outro conceito importante é o de ponto, também adimensional e, portanto, sem existência física, ainda que de existência matemática. Os tratados de geometria costumam dizer que ponto, reta e plano não têm definição, e eu acrescento: sequer têm existência física. São meros artifícios matemáticos, ainda que extremamente úteis para o estudo da física e, em decorrência, para o estudo das demais ciências naturais.

3.2 Dimensões e movimento

Que dizer então sobre o título deste capítulo? Eu diria que apesar da realidade ser sempre tridimensional, ela comporta, em seu estudo, abordagens uni ou bidimensionais. Ou seja, a metodologia comporta a uni ou a bidimensionalidade, a apoiarem-se em simplificações ou idealizações compatíveis com a geometria euclidiana. E esta metodologia acompanhará o estudioso do assunto não apenas no estudo dos movimentos mas também em inúmeros outros capítulos da física.

Frente ao rigorismo, mas sem renunciar ao uso de idealizações logicamente permitidas e compatíveis com a descrição da realidade física, vamos evoluir na tentativa de caracterizar aspectos subjacentes a essa metodologia. Vejamos inicialmente como os dicionários encaram um importante conceito, o de trajetória, assunto a ser abordado com mais propriedade no próximo item. O dicionário disponível no meu computador é o Houaiss [1] e, sob a rubrica física, ele diz o seguinte:

• Trajetória: caminho percorrido por um corpo ou partícula em movimento.

Que dizer da distinção entre corpo e partícula? Partícula não seria caso particular de corpo? Não custa nada consultar o mesmo dicionário:

• Corpo: tudo o que ocupa lugar; tudo o que tem existência física e extensão no espaço.
• Partícula: corpo cujas dimensões e estrutura interna são irrelevantes para a análise e compreensão de um fenômeno físico.

Em outras palavras, sempre que nos for possível, e logicamente permitido, fazer a abstração das dimensões de um determinado objeto, estaremos caracterizando o objeto como sendo uma partícula, algo de natureza teórica e abstrata, mas que será extremamente útil "para a análise e compreensão de um fenômeno físico". Há que se distinguir esta "irrelevância" sob dois aspectos:

1. Se, em determinadas condições, pudermos considerar as dimensões de um objeto desprezíveis, para a análise de um dado fenômeno, isto significa que o objeto está sendo encarado como adimensional, ou seja, como algo equiparável a um ponto geométrico. Por exemplo, podemos considerar a Terra puntiforme (partícula, no sentido acima definido), ao analisarmos o seu movimento ao redor do Sol. A órbita é tão grande em relação ao diâmetro terrestre que em muitos projetos de estudo essa idealização torna-se conveniente. Em outras palavras, sempre que os erros de medida estiverem acima da ordem de grandeza do volume dos objetos considerados, não perderemos nada ao tratá-los como puntiformes.
   
2. Existe ainda o caráter "irrelevância" que nem sempre diz respeito às dimensões do objeto considerado. Para o estudo de um corpo rígido, ou indeformável, é comum fixarmos a atenção em algumas estruturas geométricas que os acompanham, como por exemplo, o centro geométrico (um ponto) ou um ponto da superfície geométrica e adimensional do corpo rígido e/ou alguns outros pontos particulares. Para determinados estudos não é impossível que o movimento de um ou mais desses pontos preste-se a representar todo o movimento do objeto. A estrutura restante do objeto passa por irrelevante, ainda que a sua extensão não seja desprezível em relação às medidas de comprimento efetuadas. Em grande número de casos é suficiente considerarmos apenas um desses pontos e, via de regra, mas não obrigatoriamente, costuma-se optar pelo centro geométrico do corpo rígido.

Por vezes costuma-se dar a essa abstração o nome de ponto material, se bem que a denominação esteja mais coerente com a metodologia utilizada no estudo dinâmico do movimento. Neste caso, nem sempre os elementos representativos acima sugeridos estão dotados das qualidades necessárias e inerentes ao conceito dinâmico, ainda que abstrato, de ponto material.

Para concluir o tópico, direi que se é verdade que a física presta-se a aceitar idealizações, sem colocar em risco o seu rigorismo, não é menos verdade que devemos tomar muito cuidado por ocasião das generalizações. Se pretendermos extrapolar os valores obtidos (ou os conceitos assimilados através da observação desses valores) para situações semelhantes, mas não exatamente idênticas, há que se analisar com extrema cautela as possíveis implicações decorrentes das idealizações previamente concebidas. Este é um trabalho de depuração de erros e que deve sempre ser efetuado, em especial pelos teorizadores.

3.3 Dimensões e Trajetória

As figuras 3.1 a, b e c ilustram o movimento de objetos virtuais segundo três possíveis trajetórias. Observando as ressalvas efetuadas no item 3.1, duas dessas trajetórias (a e b) podem ser consideradas como correspondendo a movimentos que ocorrem na tela do computador; já a terceira (c) denota um movimento em que a trajetória não se encaixa na tela do computador, a não ser como uma imagem em perspectiva. Comumente se diz que arepresenta um movimento unidimensional, b um movimento bidimensional e c um movimento tridimensional.

Figura 3.1 Movimentos em uma, duas e três dimensões
a) trajetória retilínea	b) trajetória circular	c) trajetória helicoidal

Nesta fase do nosso estudo quase sempre consideraremos os objetos como representativos de corpos rígidos (indeformáveis) e dotados exclusivamente de movimentos de translação. [A rotação de um corpo em torno de um ou mais de seus eixos poderá, ou não, vir a ser objeto de estudos futuros (não há nada planejado a esse respeito)]. Portanto não levaremos em conta possíveis rodopios dos objetos, seja em a (como efeito de derrapagens), seja em b ou em c (piruetas). Se há ou não esta rotação, ela poderá ser deixada de lado. De fato, e numa primeira instância, podemos ignorar a rotação da Terra em torno de seu eixo e considerar apenas o seu movimento de translação ao redor do Sol, como se a Terra fosse realmente um objeto puntiforme.

Além desses rodopios fortuitos, ou contingentes, pode-se pensar também na possibilidade do corpo rígido de alguma maneira se acoplar ou não à trajetória, à medida em que o movimento progride. Os motivos deste acoplamento (muitas vezes necessário para que o movimento possa ocorrer na prática) dizem respeito a conceitos que estão além daqueles estudados em cinemática; consequentemente serão, por ora, deixados de lado. Abordaremos apenas a natureza de alguns desses possíveis acoplamentos e como adaptar a existência desse acoplamento à metodologia inerente à cinemática.

Os movimentos representados na figura 3.1 (acima) estão dotados deste acoplamento, o que, para trajetórias planas e curvas (figura 3.1b), implicaria numa rotação segundo um eixo que acompanha o objeto de estudo e perpendicular à trajetória. A figura 3.2b (abaixo) demonstra como seria o mesmo movimento visto na figura 3.1b (reproduzido em 3.2a) sem o acoplamento referido. Nota-se em 3.2b apenas o movimento de translação do avião.

Figura 3.2 Explicação no texto
a) vôo normal	b) vôo praticamente impossível

Qualquer que seja o caso, e mesmo quando pudermos ignorar essas rotações, é importante notar que estamos perseguindo uma metodologia experimental, a diferir sobremaneira daquela apresentada na grande maioria dos livros didáticos. Ao efetuarmos medidas relacionadas a esses movimentos simulados, e observadas as dimensões do problema, se não pudermos considerar o objeto como sendo puntiforme, teremos de escolher um ponto representativo e a ser utilizado em todas as medidas pertencentes ao mesmo contexto experimental. No caso do automóvel da figura 3.1a (movimento retilíneo) seria totalmente equivalente considerarmos como representativo um ponto situado na frente do automóvel ou, então, no centro de seu pneu dianteiro ou, ainda, na sua traseira etc. [O importante a ser observado é que uma vez efetuada a escolha, esta referência se mantenha a mesma.] O mesmo não pode ser dito para o avião das figuras 3.2 a e b (movimento circular). Dependendo do ponto considerado, a trajetória poderá não coincidir ou não se igualar àquelas mostradas nas figuras (casos 3.2a e 3.2b). Isso pode ser facilmente constatado, a ponto de permitir, tomando-se os devidos cuidados, o estudo do movimento desprezando-se ou não a existência de uma rotação do objeto e a acoplar-se à trajetória.

3.4 Dimensões e sistemas de coordenadas espaciais

Parece-nos mais ou menos óbvia a idéia de que o mundo em que vivemos é tridimensional, como assumido no item 3.1. Não obstante, nos primórdios da física atual houve quem se preocupasse em encontrar razões matemáticas que pudessem ou justificar ou desmistificar esta obviedade (mesmo porque nem tudo o que é óbvio é certo). Ao que parece Galileu foi o primeiro a estabelecer uma justificativa matemática, e a comprovação [2] está intimamente relacionada à utilização de um artifício muito semelhante ao sistema de coordenadas de Descartes.

Frente ao sistema de coordenadas cartesiano, podemos considerar que movimento unidimensional seria aquele em que todos os pontos representativos do objeto em consideração permanecem em uma mesma reta, que pode ou não coincidir com os eixos do sistema. Se os pontos permanecerem em um mesmo plano, mas não numa mesma reta, o movimento será bidimensional. Se os pontos não permanecerem em uma mesma reta e nem em um mesmo plano, o movimento será tridimensional.

Nada obsta a que se justifique a tridimensionalidade espacial através de um raciocínio semelhante àquele proposto por Galileu mas utilizando-se de outros sistemas de coordenadas, por exemplo, um sistema curvilíneo qualquer. Frente a essa nova realidade, o movimento unidimensional poderia vir a ser definido como aquele em que os pontos representativos do objeto em consideração permanecem em uma curva muito especial e conforme com o sistema utilizado. Ou seja, mais uma vez, e por motivo diverso do apresentado anteriormente (primeiro parágrafo do item 3.2), o conceito unidimensional mostra-se estar mais associado à metodologia utilizada do que propriamente a uma existência real e caracteristicamente imutável.

Sob esse aspecto, e uma vez conhecida a trajetória, qualquer movimento poderia ser estudado sob o prisma da unidimensionalidade. Seria suficiente dispormos de métodos para medir o comprimento dos arcos de trajetória correspondentes às distâncias percorridas pelos objetos em dados intervalos de tempo. Isto nem sempre é fácil de ser feito e, em função disso, a abordagem unidimensional chega a ser pouco utilizada para o estudo de movimentos cujas trajetórias não são retilíneas. Uma exceção importante é a do movimento circular, pois é relativamente fácil medir o comprimento de arcos de circunferência de raios conhecidos (ver exercícios 2.4 e 2.5 do capítulo 2).

Outro fator limitante à utilização da abordagem unidimensional para movimentos coplanares e não retilíneos é que a trajetória normalmente não é conhecida de antemão, impondo-se a determinação das posições do objeto através de duas coordenadas. Ou seja, a abordagem unidimensional somente poderá ser levada a efeito após determinarmos a trajetória, e nem sempre este é o caminho mais adequado para o estudo que se pretende realizar.

O fator mais importante, a privilegiar tanto as abordagens bidimensionais (para movimentos no plano) como as tridimensionais (para movimentos no espaço tridimensional), relaciona-se aos princípios da mecânica (leis de Newton) e que são estudados em dinâmica do movimento. Não obstante, e já que um dos objetivos deste estudo é fornecer alguns requisitos para que o leitor possa vir a compreeder com mais facilidade a dinâmica do movimento, convém que nos familiarizemos com essas abordagens o quanto antes.

3.5 Exemplificando a abordagem bidimensional. Mais um desafio.

O gif animado 04 ilustra o movimento de um objeto virtual seguindo, aparentemente, uma linha reta e inclinada em relação às bordas do vídeo. Seria perfeitamente possível efetuarmos o estudo utilizando a metodologia unidimensional, de maneira bastante semelhante àquela efetuada no capítulo 2 (com o gif animado 03). No entanto, em virtude da inclinação e do desconhecimento prévio da trajetória, a abordagem bidimensional parece ser a mais conveniente.

O procedimento inicial é exatamente o mesmo descrito nos parágrafos quinto e sexto do item 2.4 (capítulo 2). Para esta etapa serão necessários o multiplicador da área de transferência e o cronômetro de tela. Caso não possua um cronômetro de tela utilize o Timer Adobe clicando aqui e enfrente mais este desafio, qual seja, o de caracterizar e analisar o movimento apresentado no gif animado 04.

gif animado 04:

Obtidas as imagens, o procedimento será bastante semelhante àquele efetuado anteriormente. As principais diferenças relacionam-se:

1. à maneira de configurar a régua;
2. ao número de leituras (cada medida comporta 3 leituras: x, y e t); e
3. à correspondente construção da tabela no Excel, agora com quatro colunas (i, t, x e y).

Troque o sinal do valor lido para y, pois na régua de tela o eixo cartesiano dos y é orientado para baixo e, para a nossa análise, convém orientá-lo para cima (Isto não é obrigatório, apenas, e como eu disse, conveniente). A figura 4 ilustra a disposição da régua e do cronômetro, e a tabela 3.1 mostra como os dados poderiam ter sido registrados no Excel.

Figura 3.3	Tabela 3.1
Possível disposição da régua e cronômetro.	Disposição, no Excel, das cinco primeiras medidas.

Por questão de facilidade, convém mudar a origem do sistema de coordenadas espaço-temporal, de maneira a que a primeira medida seja (x, y, t) = (0, 0, 0). Para todos os valores da tabela deverão ser adicionados ou subtraídos um valor que será o mesmo para os elementos de uma mesma coluna. No caso da tabela 3.1 isso é feito subtraindo-se 3,3 de todos os elementos da coluna t, subtraindo-se 53 de todos os elementos da coluna x e adicionando-se 44 a todos os elementos da coluna y. Isso poderá ser obtido com extrema facilidade configurando-se a primeira linha da nova tabela em função dos dados da tabela primitiva, com as devidas correções e, a seguir, utilizando o recurso de arraste na vertical. A nova tabela será então:

Tabela 3.2
t em segundos, x e y em pixels.
Incerteza estimada de x e y = ± 1 pix

estando aí representadas apenas as cinco primeiras medidas.

Após construir a tabela 3.2 dê um nome à planilha do Excel que está sendo utilizada e salve o arquivo. Procure organizar os dados como sugerido no item 2.6 e, procedendo de maneira semelhante àquela indicada no item 2.7, obtenha o gráfico das funções x = f(t) e y = g(t).

DIMENSÕES GEOMETRICAS

UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL: CONCEITOS E REPRESENTAÇÕES É importante destacar que a referência às dimensões no Ciclo de Alfabetização deve favorecer o conhecimento de conceitos básicos sobre os polígonos (figuras geométricas planas) e poliedros (sólidos geométricos) como representações, uma vez que os objetos e seres do mundo real são sempre tridimensionais. Dessa maneira, os conceitos unidimensional (reta) e bidimensional (quadrado, retângulo, círculo, triângulo) são apenas representações que podem ser associadas ao mundo real.  Por exemplo, a observação de uma janela nos remete à forma de um quadrado ou um retângulo, mas a janela real é tridimensional, uma vez que possui profundidade, largura e altura. Da mesma maneira, a folha de papel representa um retângulo, mas, na realidade, é um objeto tridimensional, pois embora seja fina possui determinada gramatura podendo determinar-se a sua altura, largura e espessura. Outro tema polêmico é o conceito unidimensional associado à linha ou reta, cuja única dimensão é o comprimento. O que dizer das figuras abaixo? São unidimensionais ou bidimensionais? As espirais acima do ponto de vista da representação são figuras unidimensionais, porque mantêm o conceito de linha, apesar da forma não representar uma reta. A espiral do caderno como objeto do mundo real é tridimensional, mas do ponto da representação é uma linha, portanto, unidimensional. A densidade do tema comprova que essa abordagem mais ampla sobre as dimensões não será alvo de discussões com os alunos do ciclo de alfabetização, aos quais o importante é conhecer os conceitos básicos e relacioná-los às figuras convencionais. Discussões mais aprofundadas são interessantes como forma de ampliação de conhecimentos dos professores, mas apenas para que reflitam e planejem a abordagem do tema de maneira simples e produtiva aos seus alunos, considerando a faixa etária e os direitos essenciais de aprendizagem. No link http://www.ecientificocultural.com/MOV/mov03.htm há um bom texto sobre o assunto.

Geometria Plana

A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume, tal qual as figuras que fazem parte da geometria espacial. A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra".

Conceitos de Geometria Plana

Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber:

• Ponto: Conceitos adimensional, uma vez que não possuem dimensão. Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras maiúsculas.
• Reta: a reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições: horizontal, vertical ou inclinada. Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes; por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como paralelas.
• Segmento de Reta: Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. Não obstante, a semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início, e não possui fim.
• Plano: corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.
• Ângulos: são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em: ângulo reto (Â = 90º), ângulo agudo (0º < Â < 90º) e ângulo obtuso (90º < Â < 180º).
• Área: A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície de modo que quando maior a superfície da figura, maior será sua área.
• Perímetro: corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

             Figuras da Geometria Plana

• Triângulo: polígono (figura plana fechada) de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta. Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em: equilátero (possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°); isósceles (possui dois lados e dois ângulos internos congruentes); e o escaleno (possui todos os lados e ângulos internos diferentes). No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em triângulo retângulo (possui um ângulo de 90°); triângulo obtusângulo (possui dois ângulos agudos, ou seja, menor que 90° e um ângulo obtuso, maior que 90°); e o triângulo acutângulo (possui três ângulos de 90°).

• Quadrado: polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

• Retângulo: figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

• Círculo: figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

• Trapézio: Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana que possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em: trapézio retângulo (possui dois ângulos de 90º), trapézio isósceles ou simétrico (os lados não paralelos possuem a mesma medida), trapézio escaleno (todos os lados de medidas diferentes).

• Losango: quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo, ou seja, um polígono de quatro lados, os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.