QUADRADO PERFEITO

Quadrados perfeitos

Observe a seguinte sequência de números naturais:

4

9

16

25

49

64

81

100

121

400

900

2500

O que esses números têm em comum?
Escrevendo-os de um modo diferente:
           4=22;   9=32;   16=42;   25=52;   49=72;   64=82;   81=92;   100=102;   121=112;   400=202;           400=202;   2500=502.$$\begin{gathered} 4=2^2;9=3^2;16=4^2;25=5^2;49=7^2;64=8^2;81=9^2;100={10}^2;121={11}^2;400={20}^2; \\ 400={20}^2;2500={50}^2. \end{gathered}$$
percebemos que esses números são quadrados de outros números.
Esses números são matematicamente conhecidos como quadrados perfeitos.
É usual registrarmos os nomes dos objetos matemáticos como definições; assim:

Definição: Quadrado perfeito é qualquer número natural que possa ser representado pelo quadrado de um número também natural.
Para quem está habituado a uma linguagem mais matemática, um número natural n é dito um quadrado perfeito, se, e somente se, existir um número natural a tal que n=a2$n=a^2$.
Em símbolos: Seja n∈N$n\in \mathbb{N}$.
                                       n e´ quadrado perfeito⟺∃ a∈N∣n=a2$\boxed{{\displaystyle n\acute{e}\text{quadrado perfeito}⟺\mathrm{\exists }a\in \mathbb{N}\mid n=a^2}}$

Uma qualidade desse tipo de número é que, dentre os números naturais, apenas os quadrados perfeitos têm raízes quadradas exatas.
Você conseguiria justificar essa informação?
Os quadrados perfeitos têm muitas propriedades interessantes, vale a pena conhecê-los um pouco mais.

Algumas propriedades dos quadrados perfeitos

Os quadrados perfeitos têm muitas propriedades interessantes, vamos conhecê-los um pouco mais.
 

(1) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é o n-ésimo quadrado perfeito.

Em um primeiro momento, tente apenas entender a propriedade, analisando a seguinte sequência:
1+3=4=22   $1+3=4=2^2$ (a soma dos 2 primeiros números ímpares é o segundo quadrado perfeito)
1+3+5=9=32   $1+3+5=9=3^2$ (a soma dos 3 primeiros números ímpares é o terceiro quadrado perfeito)
1+3+5+7=16=42   $1+3+5+7=16=4^2$ (a soma dos 4 primeiros números ímpares é o quarto quadrado perfeito)
1+3+5+7+9=25=52   $1+3+5+7+9=25=5^2$ (a soma dos 5 primeiros números ímpares é o quinto quadrado perfeito)
1+3+5+7+9+11=36=62   $1+3+5+7+9+11=36=6^2$ (a soma dos 6 primeiros números ímpares é o sexto quadrado perfeito)
1+3+5+7+9+11+13=49=72   $1+3+5+7+9+11+13=49=7^2$ (a soma dos 7 primeiros números ímpares é o sétimo quadrado perfeito)
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82   $1+3+5+7+9+11+13+15=64=8^2$ (a soma dos 8 primeiros números ímpares é o oitavo quadrado perfeito).
Usando esta propriedade podemos concluir, por exemplo, que:
              1+3+5+⋯+999=250.000              $\underbrace{1+3+5+\cdots +999}=250.000$ e               1+3+5+⋯+9999=25.000.000$\underbrace{1+3+5+\cdots +9999}=\mathrm{25.000.000}$.
a soma dos 500 primeiros números ímpares               $$ a soma dos 5000 primeiros números ímpares
Tente fazer essas somas na sua calculadora e observe como é forte essa propriedade!

(2) Um quadrado perfeito não termina em 2, 3, 7 e 8.

Neste primeiro estudo tente apenas observar uma boa aplicação desta propriedade. Por exemplo:
●  5787−−−−√$\sqrt{5787}$ é um número natural?
●  14722−−−−−√$\sqrt{14722}$ é um número natural?
●  8786923−−−−−−−√$\sqrt{8786923}$ é um número natural?

(3) Um quadrado perfeito par é sempre divisível por 4.

Neste momento observe apenas que, com essa propriedade, garantimos, por exemplo, que:
●  (273904736)2$(273904736{)}^2$ é divisível por 4.
●  (18700394875098756283764878)2$(18700394875098756283764878{)}^2$ é divisível por 4.
Mais uma vez, use sua calculadora para obter os quadrados e depois tente fazer a divisão por quatro…
Trabalhoso, não é? Mais um exemplo legal de uma propriedade dos quadrados perfeitos!

(4) Um quadrado perfeito ímpar quando dividido por 8 deixa resto 1.

Pegue uma calculadora e teste alguns exemplos.
Os exemplos que você conseguiu não garantem que qualquer quadrado perfeito seja um “múltiplo de 8 mais 1”, mas ajudam você entender a propriedade.
Uma bela aplicação dessa propriedade é garantirmos que em uma sequência de números naturas que tenham apenas o algarismo 1

              11       111       1111       11111       111111       1111111       ⋯       1111⋯1111apenas algarismos 1       ⋯$$

$111111111111111111111111111\cdots \underset{apenasalgarismos1}{\underbrace{1111\cdots 1111}}\cdots$
não aparecem quadrados perfeitos.
A justificativa dessa afirmação não é trivial, por isso para você se convencer que essa propriedade é verdadeira, terá que pensar um pouquinho mais.

As propriedades apresentadas na página anterior são afirmações genéricas que precisam mais do que vários exemplos para serem justificadas.
Quando afirmamos, por exemplo, que um quadrado perfeito não termina em 2, 3, 7 e 8 não basta testar a afirmação para dez números, nem para cem números e nem mesmo para mil.
Por serem genéricas, essa e as outras afirmações precisam ser justificadas genericamente.
Assim é necessário saber que, quando falamos de um número par, não estamos nos referindo a 2, nem 8, nem 10 e nem 56, e sim a qualquer número par (inclusive os citados).
E como então registramos a informação de que um número é par ou ímpar sem recorrer a exemplos? Vejamos.
Quando dividimos um número natural n por 2 , obtemos um quociente q e um resto que pode ser 1 ou zero:

n$n$	2		n$n$	2
1	q$q$		0	q$q$

ou seja, quando dividimos um número natural n por 2, encontramos um quociente q tal que n=2q+1 ou n=2q+0.
Como os números naturais que deixam resto 1, quando divididos por 2, são os números ímpares, e os números naturais que deixam resto zero, quando divididos por 2, são os números pares, temos as seguintes definições:

Definição: Um número natural n é dito um número par, se existir um número natural k tal que  n=2k$\boxed{{\displaystyle n=2k}}$.

Definição: Um número natural n é dito um número ímpar, se existir um número natural t tal que  n=2t+1$\boxed{{\displaystyle n=2t+1}}$.

Exemplos:
●  6 é par, pois 6=2×3$6=2\times 3$.
●  17 é ímpar, pois 17=2×8+1$17=2\times 8+1$.
●  20 é par, pois 20=2×10$20=2\times 10$.
●  23 é ímpar, pois 23=2×11+1$23=2\times 11+1$.
●  150 é par, pois 150=2×75$150=2\times 75$.
●  503 é ímpar, pois 503=2×251+1$503=2\times 251+1$.

Se você não está habituado com essa linguagem, sugerimos que tente justificar as propriedades abaixo, a partir dessas duas definições.

●  A soma de dois números pares é um número par.
●  A soma de dois números ímpares é um número par.
● A soma de um número par com um número ímpar é um número ímpar.
●  O produto de dois números pares é um número par.
●  O produto de um número ímpar por um número ímpar é um número ímpar.
●  O produto de um número par por um número ímpar é um número par.

Por exemplo, a segunda propriedade poderia ser assim justificada:
Sejam n e m dois números naturais ímpares. Assim existem números naturais k e t tais que
n=2k+1 e m=2t+1.
Dessa forma,
n+m=(2k+1)+(2t+1)=2(k+t)+2=2(k+t+1).
Observe que sabemos que k, t e 1 são números naturais, logo a soma k+t+1 é também um número natural. Assim, se denotarmos tal soma por s, então podemos afirmar que
n+m= 2s, com s∈N$\in \mathbb{N}$,
o que nos garante que n+m é, de fato, um número par.

Se você está habituado com esse tipo de raciocínio e de argumentação, tente mostrar que as propriedades apresentadas na página anterior são verdadeiras.

(1) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é o n-ésimo quadrado perfeito.

(2) Um quadrado perfeito não termina em 2, 3, 7 e 8.

(3) Um quadrado perfeito par é sempre divisível por 4.

(4) Um quadrado perfeito ímpar quando dividido por 8 deixa resto 1.

SALA DE ESTUDOS DA OBMEP.